کار در کلاس 1 صفحه 64 حسابان دوازدهم
مفاهیم $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ و $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ را بیان کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 1 صفحه 64 حسابان دوازدهم
سلام! این مفاهیم، پایه و اساس مطالعه **حد در بی‌نهایت** هستند که به توصیف رفتار یک تابع در **دورترین نقاط دامنه‌اش** می‌پردازد. 🔭
---
### الف) مفهوم $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
این عبارت به این معنی است که:
> **وقتی مقادیر $x$ به طور نامحدودی بزرگ می‌شوند (به سمت راست می‌رویم)، مقادیر تابع $f(x)$ نیز به طور نامحدودی بزرگ می‌شوند (نمودار به سمت بالا می‌رود).**
* **توضیح:** این وضعیت در توابعی مانند $\mathbf{y = x^2}$ یا $\mathbf{y = x^3}$ در سمت راست نمودار رخ می‌دهد. این یعنی تابع در دوردست به سمت بالا متمایل می‌شود و هیچ مجانب افقی ندارد.
---
### ب) مفهوم $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$
این عبارت به این معنی است که:
> **وقتی مقادیر $x$ به طور نامحدودی کوچک می‌شوند (به سمت چپ می‌رویم)، مقادیر تابع $f(x)$ نیز به طور نامحدودی کوچک می‌شوند (نمودار به سمت پایین می‌رود).**
* **توضیح:** این وضعیت در توابعی مانند $\mathbf{y = x^3}$ یا $\mathbf{y = -x^2}$ در سمت چپ نمودار رخ می‌دهد. این یعنی تابع در دوردست به سمت پایین متمایل می‌شود و هیچ مجانب افقی ندارد.
فعالیت 2 صفحه 64 حسابان دوازدهم
با توجه به نمودار توابع $y = x$ و $y = x^2$ حدود زیر را مشخص کنید.
$$\lim_{x \to -\infty} x = \dots$$
$$\lim_{x \to -\infty} x^2 = \dots$$
$$\lim_{x \to +\infty} x = \dots$$
$$\lim_{x \to +\infty} x^2 = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 2 صفحه 64 حسابان دوازدهم
این فعالیت به شما کمک می‌کند تا رفتار نهایی (End Behavior) توابع چندجمله‌ای با توان **فرد** ($y=x$) و توان **زوج** ($y=x^2$) را در بی‌نهایت مقایسه کنید. 🚀
---
### الف) تابع $y = x$ (توان فرد $n=1$)
* **حد در $+\infty$:** وقتی $x$ بسیار بزرگ می‌شود، $y$ نیز بسیار بزرگ می‌شود.
$$\mathbf{\lim_{x \to +\infty} x = +\infty}$$
* **حد در $-\infty$:** وقتی $x$ بسیار کوچک می‌شود (منفی)، $y$ نیز بسیار کوچک می‌شود.
$$\mathbf{\lim_{x \to -\infty} x = -\infty}$$
### ب) تابع $y = x^2$ (توان زوج $n=2$)
* **حد در $+\infty$:** وقتی $x$ بسیار بزرگ می‌شود، $x^2$ نیز بسیار بزرگ می‌شود.
$$\mathbf{\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty}$$
* **حد در $-\infty$:** وقتی $x$ بسیار کوچک می‌شود (منفی)، **چون توان زوج است، حاصل مثبت است** و $x^2$ بسیار بزرگ می‌شود.
$$\mathbf{\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty}$$
---
### خلاصه نتایج
| تابع | توان | $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ | $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $y = x$ | فرد | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $y = x^2$ | زوج | $+\infty$ | $+\infty$ |
